Opracowane przez Małgorzatę KAZEK uczennicę Gimnazjum nr 2 przy ZSO nr 5 w Gliwicach - jedną z laureatek naszego ubiegłorocznego konkursu MAMTA 2001 ZŁOTY PODZIAŁ - podział wielkości a na takie 2 części x i a -x tak, aby stosunek odcinka a do jego większej części x był równy stosunkowi części x do części mniejszej (a -x), tj., aby a:x = x:(a-x) (I) a( a-x ) = x2 a2 - ax = x2 x2 + ax - a2 = 0 - to nie spenia warunków zadania jako długość odcinka - to spełnia warunki zadania Odcinek x znajdziemy rozwiązując równanie (I). Otrzymamy x2 = . Mając x znajdziemy (a-x),a także stosunek , Który jest taki sam jak stosunek x:(a-x). Ten stosunek oznaczamy przez i nazywamy liczbą złotą. wyraża stosunek dwóch części odcinka podzielonego podziałem złotym. Liczba złota : = = 1,61803398... Ciekawa rzecz, że odwrotność liczby , czyli Widzimy, że otrzymujemy z , odejmując od niej 1(cyfry dziesiętne są takie same). Zasada złotego podziału odcinka była przejawem estetyki klas. W średniowieczu i okresie odrodzenia matematycy byli zafascynowani liczbą , a proporcję, z której się ją wyprowadza, nazwano "boską proporcją". Jeden z matematyków odrodzenia - Łukasz Paciuoli wydał traktat zatytułowany " O boskiej proporcji" z ilustracjami Leonarda da Vinci. Traktat ten zawiera ciekawy zbiór przykładów występowania stosunku w figurach płaskich i przestrzennych, np. w dziesięciokącie wpisanym w okrąg.
● zasada złotego podziału znana od starożytności, znalazła zastosowanie w architekturze antycznej, romańskiej oraz w sztuce renesansu i klasycyzmu; ● okna w budowlach w stylu renesansowym ( szerokość do wysokości była w stosunku 5:8 ); ● renesansowe pałace włoskie, np. Palazzo Strozzi, Palazzo Rucelai, Santa Maria Novella, Kaplica Palazzo Vendrai; ● także inne świątynie, np. Parthenon na Akropolu, ● pentagram - gwiazda pięcioramienna; Pitagorejczycy wybrali gwiazdę pięcioramienną na godło swojego tajnego bractwa, ponieważ w tej figurze każdy odcinek jest podzielony w stosunku złotym względem sąsiedniego mniejszego od niego;
Dowolny kwadrat podzielić na połowy, a następnie wyznaczyć przekątną jednej z połówek i tą przekątną zakreślić okrąg o środku w punkcie O. Na przedłużonej podstawie kwadratu okrąg wyznacza odcinek AE, który jest drugim bokiem szukanego złotego prostokąta AEFD. Łatwo obliczyć długość AE. Jest to : Kiedy krótszy bok ma długość jeden, to dłuższy bok złotego prostokąta jest liczbą niewymierną. Oznaczamy ją przez . Zauważyłam, że 1AEI : 1ADI = . Więc w każdym złotym prostokącie stosunek dłuższego boku do krótszego jest . Okazuje się, że jeśli do dłuższego boku złotego prostokąta "dokleimy " kwadrat, to otrzymamy także złoty prostokąt. Można powiedzieć, że ta figura geometryczna "trzyma fason". Podobnie, przez odcinanie kwadratu od złotego prostokąta otrzymamy także złoty prostokąt. Spróbujmy wykorzystać odcinek o długości do budowania figur geometrycznych. Zacznijmy od trójkąta równoramiennego o podstawie 1 i ramionach . Dorysujmy do niego jeszcze taki sam trójkąt w taki sposób, by tworzyły czworokąt o przekątnej . Z zaznaczonych wierzchołków P i S kreślimy okręgi o promieniu . Przetną się one w punkcie T. Otrzymaliśmy romb PRST, którego długość boku wyraża się złotą liczbą, a on sam składa się z dwóch części "latawca" i "strzałki". Okazuje się, że stanowią one interesujące elementarne cegiełki do konstruowania innych figur geometrycznych. Weźmy na początek 5 latawców. Dorysowane obok siebie bokami o długości tworzą dziesięciokąt foremny wypukły. W podobny sposób z pięciu strzałek otrzymamy dziesięciokąt wklęsły, którego boki są tej samej długości, ale sąsiednie kąty mają różne miary. stosunki wykorzystuje się także do określania proporcjonalnej budowy człowieka:
Proporcje ustalone przez Durera przyjęły się powszechnie. Jako podstawę miar przyjął on wysokość człowieka i ustali następujący podział postaci: 1/2 h - górna część ciała od kroku w górę; 1/4 h - długość nogi od kostki do kolana i odległość od podbródka do pępka; 1/6 h - długość stopy; 1/8 h - długość od czubka głowy do dolnej krawędzi podbródka; 1/10 h - wysokość twarzy i szerokość twarzy( łącznie z uszami ); długość dłoni do nadgarstka; 1/12 h - szerokość twarzy na wysokości dolnej krawędzi nosa, szerokość nogi (nad kostką) itd. Dalsze podziały dochodzą do 1/40 h. |