Złap okazję! Czas leci...

Śpiesz się, oferta kończy się za:
: : :

Ankieta

Czy jesteś za likwidacją gimnazjum
Czy jesteś za likwidacją gimnazjum 2015-11-02
Tak - 34%
Nie - 63%
Jest mi to obojętne - 3%
Liczba głosów: 404

Złoty Podział Odcinka

2015-07-08

Opracowane przez Małgorzatę KAZEK uczennicę Gimnazjum nr 2 przy ZSO nr 5 w Gliwicach - jedną z laureatek naszego ubiegłorocznego konkursu MAMTA 2001

ZŁOTY PODZIAŁ - podział wielkości a na takie 2 części x i a -x tak, aby stosunek odcinka a do jego większej części x był równy stosunkowi części x do części mniejszej (a -x), tj., aby

a:x = x:(a-x) (I)

a( a-x ) = x2

a2 - ax = x2

x2 + ax - a2 = 0

 - to nie spenia warunków zadania jako długość odcinka

 - to spełnia warunki zadania

Odcinek x znajdziemy rozwiązując równanie (I). Otrzymamy x2 =  . Mając x znajdziemy (a-x),a także stosunek  , Który jest taki sam jak stosunek x:(a-x).

Ten stosunek oznaczamy przez i nazywamy liczbą złotą. wyraża stosunek dwóch części odcinka podzielonego podziałem złotym.

Liczba złota : =  = 1,61803398...

Ciekawa rzecz, że odwrotność liczby , czyli

Widzimy, że  otrzymujemy z , odejmując od niej 1(cyfry dziesiętne są takie same).

Zasada złotego podziału odcinka była przejawem estetyki klas. W średniowieczu i okresie odrodzenia matematycy byli zafascynowani liczbą , a proporcję, z której się ją wyprowadza, nazwano "boską proporcją". Jeden z matematyków odrodzenia - Łukasz Paciuoli wydał traktat zatytułowany " O boskiej proporcji" z ilustracjami Leonarda da Vinci. Traktat ten zawiera ciekawy zbiór przykładów występowania stosunku w figurach płaskich i przestrzennych, np. w dziesięciokącie wpisanym w okrąg.






PRZYKŁADY :

● zasada złotego podziału znana od starożytności, znalazła zastosowanie w architekturze antycznej, romańskiej oraz w sztuce renesansu i klasycyzmu;

● okna w budowlach w stylu renesansowym ( szerokość do wysokości była w stosunku 5:8 );

● renesansowe pałace włoskie, np. Palazzo Strozzi, Palazzo Rucelai, Santa Maria Novella, Kaplica Palazzo Vendrai;

● także inne świątynie, np. Parthenon na Akropolu,

● pentagram - gwiazda pięcioramienna;

Pitagorejczycy wybrali gwiazdę pięcioramienną na godło swojego tajnego bractwa, ponieważ w tej figurze każdy odcinek jest podzielony w stosunku złotym względem sąsiedniego mniejszego od niego;

  • w znormalizowane zeszytach formatu : A-0, A-1, A-2, A-3, A-4, A-5, A-6... boki tych zeszytów są w złotym podziale;
  • złoty podział wykorzystuje się do konstruowania przepięknych mozaiek z figur powstałych w wyniku wykorzystania złotego podziału;

Dowolny kwadrat podzielić na połowy, a następnie wyznaczyć przekątną jednej z połówek i tą przekątną zakreślić okrąg o środku w punkcie O.

Na przedłużonej podstawie kwadratu okrąg wyznacza odcinek AE, który jest drugim bokiem szukanego złotego prostokąta AEFD.

Łatwo obliczyć długość AE. Jest to : 

Kiedy krótszy bok ma długość jeden, to dłuższy bok złotego prostokąta jest liczbą niewymierną. Oznaczamy ją przez . Zauważyłam, że 1AEI : 1ADI = .

Więc w każdym złotym prostokącie stosunek dłuższego boku do krótszego jest .

Okazuje się, że jeśli do dłuższego boku złotego prostokąta "dokleimy " kwadrat, to otrzymamy także złoty prostokąt. Można powiedzieć, że ta figura geometryczna "trzyma fason". Podobnie, przez odcinanie kwadratu od złotego prostokąta otrzymamy także złoty prostokąt. Spróbujmy wykorzystać odcinek o długości do budowania figur geometrycznych. Zacznijmy od trójkąta równoramiennego o podstawie 1

i ramionach .

Dorysujmy do niego jeszcze taki sam trójkąt w taki sposób, by tworzyły czworokąt o przekątnej .

Z zaznaczonych wierzchołków P i S kreślimy okręgi o promieniu . Przetną się one w punkcie T.

Otrzymaliśmy romb PRST, którego długość boku wyraża się złotą liczbą, a on sam składa się z dwóch części "latawca" i "strzałki".

Okazuje się, że stanowią one interesujące elementarne cegiełki do konstruowania innych figur geometrycznych.

Weźmy na początek 5 latawców. Dorysowane obok siebie bokami o długości  tworzą dziesięciokąt foremny wypukły. W podobny sposób z pięciu strzałek otrzymamy dziesięciokąt wklęsły, którego boki są tej samej długości, ale sąsiednie kąty mają różne miary.

stosunki wykorzystuje się także do określania proporcjonalnej budowy człowieka:

  1. Obwód głowy każdego człowieka pozostaje w określonym stosunku do wysokości tego człowieka. Wzrost jest trzy razy większy od obwodu głowy.
  2. Każdy człowiek mierzy około sześciu stóp. Mierząc ile stóp tej osoby mieści się w jej wzroście otrzymujemy taki rezultat. Wynika z tego, że długość stopy jest mniej więcej równa jednej szóstej wzrostu człowieka.
  3. Następny stosunek jest nazywany " pępkiem Pitagorasa " i jest to stosunek odległości pępka człowieka od ziemi - do jego wzrostu. Zazwyczaj wynosi 1 : 1,6 (czyli jest to złoty podział ).

Proporcje ustalone przez Durera przyjęły się powszechnie. Jako podstawę miar przyjął on wysokość człowieka i ustali następujący podział postaci:

1/2 h - górna część ciała od kroku w górę;

1/4 h - długość nogi od kostki do kolana i odległość od podbródka do pępka;

1/6 h - długość stopy;

1/8 h - długość od czubka głowy do dolnej krawędzi podbródka;

1/10 h - wysokość twarzy i szerokość twarzy( łącznie z uszami ); długość dłoni do nadgarstka;

1/12 h - szerokość twarzy na wysokości dolnej krawędzi nosa, szerokość nogi (nad kostką) itd.

Dalsze podziały dochodzą do 1/40 h.

 
Wróć do listy